Preferencias débiles y transitividad negativa

Question

Dejemos que $\succ$ sea una relación binaria en el conjunto $X$ tal que, dado cualquier $x, y, z\in X$ , si $x\succ y$ :

1. (Asimetría): $\neg(y\succ x)$ ,
2. (Transitividad negativa): $(x\succ z) \vee (z\succ y)$ .

Definamos las abreviaturas:

3. $x\succeq y \;:=\; \neg(y\succ x)$ ,

4. $x \sim y \;:=\; x\succeq y\; \wedge \;y \succeq x$ .

Como siempre, las relaciones $\succ, \succeq, \sim$ denotan preferencia fuerte, preferencia débil e indiferencia.

La intuición me sugiere que puedo concluir: $$x\succeq y \; \leftrightarrow \;(x\succ y\; \vee \;x\sim y)$$

Si es así, ¿cómo puedo derivarlo formalmente? ¿Alguna referencia útil?

Answer 1

Probablemente se pueda hacer más fácilmente si se hacen ambos pasos por separado ( $\implies$ y $\impliedby$ ), pero aquí hay una prueba que hace ambas cosas al mismo tiempo: $$\begin{align*} &x\succ y \vee x\sim y\\ \iff\;& x \succ y \vee (x\succeq y \wedge y \succeq x) & \text{Definition of $\sim$} \\ \iff\;& (x \succ y \vee x\succeq y) \wedge (x \succ y \vee y \succeq x)& \text{Distributivity}\\ \iff\;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge [x \succ y \vee \neg(x\succ y)]& \text{Definition of $\succeq$}\\ \iff\;& x \succ y \vee \neg( y \succ x)& \text{LEM}\\ \iff\;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge[x \succ y \to \neg( y \succ x)]& \text{Asymmetry}\\ \iff\;& [x \succ y \vee \neg( y \succ x)] \wedge[\neg(x \succ y) \vee \neg( y \succ x)]& \text{Definition of $\to$}\\ \iff\;& [x \succ y \wedge \neg(x \succ y)] \vee \neg( y \succ x)& \text{Distributivity}\\ \iff\;& \neg( y \succ x)& \text{Contradiction}\\ \iff\;& x \succeq y& \text{Definition of $\succeq$}\\ \end{align*}$$

La transitividad negativa no parece ser una condición necesaria para esta proposición.