Valoración de la opción de venta americana perpetua cuando el tipo de interés es igual a 0

Question

Consideremos la opción de venta americana perpetua con tipo de interés: $r = 0$ .

La ecuación de Black-Scholes en este caso tiene la forma $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{d^2 V(t, S)}{dS^2} + (r-d)S \frac{dV(t, S)}{dS} - rV(t, S) = 0. $$

Tras aplicar el método PDE he obtenido que: $$ V(S) = A S^{\frac{2d+\sigma^2}{\sigma^2}}+ B, $$ cuando $2d+\sigma^2\geq0$ .

Entonces, utilizando el hecho de que $V(S)\rightarrow 0$ cuando $S\rightarrow +\infty$ Tengo que poner $A = 0$ y $B = 0$ .

Finalmente, obtuve: $$ V(S) = 0. $$

Lo interpreto en el sentido de que esta opción no tiene ningún valor.

Por lo tanto, la región de parada es un conjunto vacío, y la región de continuación tiene la forma $C = \mathbb{R}^{+}$ porque no hay un momento óptimo para ejercer esta opción.

Mi pregunta es:

1. ¿Es correcta esta solución?

2. Si obtengo que una opción no tiene valor, lo que significa que: $V(S) = 0$ puedo decir que la región de continuación es $\mathbb{R}^{+}$ ?

Answer 1

La PDE no es igual a cero cuando reemplazo con la expresión de $V(S)$ que has dado. Hay un problema en su PDE las condiciones de contorno y su solución.

Empecemos con la PDE de las put americanas regulares, y deduzcamos las put americanas perpetuas, luego resolvamos el precio:

Puesta regular americana

• La EDP de Black Scholes se satisface con el precio de $S(t) > S^*(t), t < T$
• En $S(t) = S^*(t)$ , $V(S(t), t, T) = K - S^*(t)$
• Con una condición final: $V(S, T, T) = (K - S(T))^+$
• Y la condición adicional $\frac{\partial V}{\partial S}(S^*(t), t) = -1$ (necesitamos esta ecuación adicional para poder resolver $V$ y $S^*$ al mismo tiempo).

Put americano perpetuo

Ahora, para el americano perpetuo, el valor no debería depender del tiempo, sólo del nivel del subyacente: $$V_\infty(S, t) = V_\infty(S) = \lim_{(T - t) \rightarrow \infty} V(S,t,T)$$

Hacer un cambio de variable $\theta = T - t$ y denotando $S^*_\infty = \lim_{\theta \rightarrow \infty} S^*(\theta)$ en las ecuaciones anteriores da:

• PDE de Black Scholes para $S > S^*_\infty$
• $V_\infty(S^*_\infty) = K - S^*_\infty$
• $\frac{\partial V_\infty}{\partial S}(S^*_\infty) = -1$

Buscando una solución de la forma $A S^\alpha + B S^\beta$ tenemos:

• $\alpha, \beta = \frac{-(r-d-0.5\sigma^2) +/-\sqrt{(r-d-0.5\sigma^2)^2 + 2r\sigma^2}}{\sigma^2} $ .
  • si $r = 0$ y $d + 0.5 \sigma^2 \geq 0$ entonces $\alpha >0$ y $\beta = 0$ en este caso no tenemos solución (el precio de venta debe estar entre $K$ y $K-S$ )
  • si $r = 0$ y $d + 0.5 \sigma^2 < 0$ entonces $\alpha = 0$ y $\beta < 0$ . En este caso, $A = 0$ porque $V(S)$ debe ser cero cuando $S \rightarrow \infty$ (argumento que usted ha hecho)

Las dos últimas ecuaciones anteriores dan en este caso $B{S^*_\infty}^\beta = K - S^*_\infty$ y $\beta B {S^*_\infty}^{-1} = -1$

Lo que nos lleva a: $$ V_\infty(S) = (K - S^*_\infty) \left( \frac{S}{S^*_\infty} \right)^\beta $$ donde: $S^*_\infty = \frac{\beta}{\beta - 1} K$