Momento de los tipos de dibujos de la naturaleza

Question

Consideremos un simple juego estático de entrada de información incompleta.
Dos jugadores, $i=1,2$ . donde el jugador $1$ es un nuevo participante, y $2$ es titular.
El jugador 2 puede ser de dos tipos: racional o beligerante, con una $(p,1-p)$ sobre sus tipos.
Conjunto de acciones: $A_1=\{Enter, Out\}$ , $A_2=\{Fight, Accomodate\}$

Cuando convertimos este juego de forma extensiva en forma normal, calculamos el pago esperado para cada par de estrategias $(x,zy)$ donde $x$ se refiere a lo que el jugador 1 elige en el conjunto de información, y $zy$ se refiere a lo que el jugador 2 elige en caso de cada tipo.

Mi pregunta:
Cuando convertimos este juego de información incompleta en uno completo-imperfecto, introducimos a la Naturaleza y dejamos que saque el tipo para el jugador 2. Sin embargo, ella conoce su tipo cuando se le pide que mueva, así que ¿por qué calculamos una recompensa esperada para el jugador 2 al convertir el juego en una forma normal? ¿Es porque cuando convertimos la forma extensiva en la forma normal, el conjunto de estrategias puras del jugador 2 tiene en cuenta cada tipo que puede ser (racional o beligerante), por lo que también se ve obligado a calcular un resultado esperado? Es decir, para cualquier par de conjuntos de estrategias puras, hay que tratar con dos nodos terminales y su recompensa, así que tiene sentido desde esta perspectiva, se necesita algún tipo de cálculo de recompensa esperada. Pero parece extraño que el jugador 2, que supuestamente conoce su tipo, también tenga que formarse una expectativa sobre su resultado.

Mi opinión es que la forma en que se define la estrategia en la información incompleta es que prescribe a cada tipo de un jugador lo que debe hacer si este es el tipo que la naturaleza dibuja. Así que, mientras la cardinalidad del espacio de tipos sea mayor que 1, cualquier par de estrategia pura obligará a cada jugador a enfrentarse a más de 1 nodos terminales (ej. $(Enter, (Fight, Fight)$ ).

Simplemente suena extraño que todo el tiempo, Harsanyi permita que el tipo de un jugador sea desconocido sólo para otros jugadores, pero al final, no importa si tienes varios tipos o no, los pagos deben ser calculados en expectativa.

Answer 1

Supongo que tienes en mente un juego parecido a este:

conoce su tipo cuando se le pide que se mueva, así que ¿por qué calculamos una recompensa esperada para el jugador 2 al convertir el juego en una forma normal?

El hecho de que "conozca su tipo" y, por lo tanto, no tenga necesidad de calcular una recompensa esperada, presupone que la jugada ha alcanzado un conjunto de información particular para el jugador 2. Formalmente, dejemos que $\theta\in\{R,B\}$ sea el tipo de P2. Su utilidad condicionada a que su tipo sea $\theta$ es \begin{equation} u_2(\sigma_1,\beta_2(\color{red}{\theta})\vert\color{red}{\theta}). \end{equation} donde $\beta_2(\theta)$ es la estrategia de comportamiento de P2 en el conjunto de información asociado a $\theta$ (es decir, el nodo de decisión izquierdo para P2 cuando $\theta=R$ y el nodo de decisión correcto para P2 si $\theta=R$ ). Aquí no se calcula ningún valor esperado, ya que la incertidumbre se resuelve para P2. En cambio, en la representación de la forma normal, la utilidad de P2 es un incondicional uno: \begin{equation} u_2(\sigma_1,\sigma_2)=\Pr(R)u_2(\sigma_1,\beta_2(R)\vert R)+\Pr(B)u_2(\sigma_1,\beta_2(B)\vert B) \end{equation} donde se deben tomar las expectativas.

La razón es que al convertir un juego de forma extensiva en la forma normal, se pierde el aspecto temporal del juego y todo se ve desde el ex ante perspectiva.

Answer 2

Creo que la cuestión es que la jugadora 2 no tiene forma de revelar su tipo a la jugadora 1 (e incluso si lo hiciera, podría no querer hacerlo). Así que, independientemente del hecho de que conozca su tipo, va a tener que confiar en que el jugador 1 calcule la expectativa cuando tome la decisión del estrato 1 de entrar o quedarse fuera, haciendo que el pago del jugador 2 también sea esperado.

Por supuesto, tienes razón en que la expectativa se colapsa si ambos tipos dan como resultado el mismo nodo terminal, porque en ese caso no se necesita ninguna expectativa.