Demuestre que los beneficios de la empresa disminuyen débilmente con los precios de los insumos

Question

Demuestre que los beneficios de la empresa disminuyen débilmente con los precios de los insumos. Más formalmente, supongamos que la empresa tiene una función de producción f, de modo que su función de beneficios es

(p, w) = max(x0) $pf(x) w · x$ ,

donde p denota el precio de salida y w denota el vector de precios de entrada. A continuación, demuestre que si $w$ y $w'$ son dos vectores de precios de entrada tales que $w'_j$ = $w_j$ para todos $j \neq i$ y $w'_i$ > $w_i$ entonces $(p, w') (p, w)$

Sé que cuando los precios de los insumos disminuyen, los costes totales de la empresa también disminuyen. Debido a la disminución de los costes de producción, la empresa produce más con el mismo coste. Sin embargo, debido al aumento de la oferta, el precio de la producción cae a un nuevo equilibrio, lo que hace que los beneficios también disminuyan, a menos que el aumento de q sea proporcional a la disminución del precio, lo que evitaría la caída de los beneficios.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo iniciar la prueba utilizando $\pi (p, w)$ . Dado que es $w$ que está cambiando, ¿mantendría el precio de la producción fijo en $p$ ?

Entonces asumiría que $x'$ es la maximización del beneficio en:

$$pf(x) w'· x pf(x') w'· x'$$

y $x$ es la maximización del beneficio en:

$$pf(x) w · x \geq pf(x') w· x'$$

Entonces multiplicaría la segunda ecuación por -1, obteniendo

$$-pf(x) + w · x \leq -pf(x') + w· x'$$

Entonces añadiría eso a la primera ecuación obteniendo:

$$ ( w'· x) + (w \cdot x) ( w'· x') + (w \cdot x')$$

que se simplifica a:

$$ (w - w') (x - x') \leq 0 $$

Dado que todos los componentes de $w' w$ son 0 excepto la i-ésima

$$ (w_i - w_i') (x_i - x_i') \leq 0 $$

Nos quedamos con:

$$(x_i - x_i') \leq 0 $$ $$ x_i \leq x_i' $$

Lo que nos deja con el hecho de que las demandas de insumos de factores en $x' \geq x$ por lo que suponemos que la demanda de producción es mayor, lo que hace que los precios bajen.

Sin embargo, no tengo idea de cómo probar que $(p, w') (p, w)$ si $w'_j$ = $w_j$ para todos $j \neq i$ y $w'_i$ > $w_i$ .

Entiendo que la idea se basa en el hecho de que $w'_j$ = $w_j$ y $w'_i$ > $w_i$ , $w' > w $ , lo que significa que el $w' \cdot x$ en la función de beneficio es mayor que $w \cdot x$ . Como el coste es mayor en $\pi (p, w')$ Eso significa que $(p, w') (p, w)$ . Sin embargo, estoy confundido en cuanto a cómo puedo enfocar esta proposición utilizando la función de beneficio dada.

Answer 1

Por el BDC, sabemos que:

\begin{align} \nabla_x\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})=p\nabla f(\mathbf{x})-\mathbf{w}=\mathbf{0} \tag{1} \end{align}

Esto será cierto en el equilibrio, es decir, para cualquier $\mathbf{w}$ el vector de entrada $\mathbf{x}$ se ajustará para que lo anterior se mantenga.

Ahora considere $d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})/d w_i$ (y utilizando $(1)$ ):

\begin{align} \frac{d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})}{d w_i} &=\nabla_x\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{x} \, + \nabla_w\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{w} \\ &=0 +\nabla_w\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{w} \tag{*}\\ &=\nabla_w(pf(\mathbf{x})-\mathbf{w}\cdot \mathbf{x)} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \\ &= \Big(p\nabla_wf(\mathbf{x})-\nabla_w(\mathbf{w}\cdot \mathbf{x)}\Big)\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \\ &= \Big(p \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial\mathbf{w}}\nabla f(\mathbf{x})-\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial\mathbf{w}}\mathbf{w} - \mathbf{x}\Big)\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w}\\ &= \mathbf{J}(p\nabla f(\mathbf{x})-\mathbf{w})\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} -\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \\ &= \mathbf{J} \nabla_x\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w}-\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \tag{**}\\ &= -\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \\ &= -x_i \end{align}

donde, en pasos $(*), (**)$ se utiliza FOC y $\mathbf{J}$ es la matriz jacobiana.

Desde entonces, $x_i \geq0$ tenemos:

$$\frac{d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})}{d w_i} \leq0$$

Answer 2

(Sin utilizar la diferenciación) Cuando $w \leq w'$ se deduce que $pf(x) w · x \geq pf(x) w' · x$ y así $\pi(p,w) \geq \pi(p,w')$ .

EDIT 1. La última desigualdad (que se dejó como ejercicio) se puede justificar de la siguiente manera: $w \leq w'$ implica que $$pf(x) w · x \geq pf(x) w' · x$$ para cualquier $x \geq 0$ y admisible. La desigualdad es especialmente cierta para $x=x^*(p,w')$ y así $$ pf(x^*(p,w')) w · x^*(p,w') \geq pf(x^*(p,w')) w' · x^*(p,w').$$ Sin embargo, $x^*(p,w')$ no maximiza los beneficios para precios de los insumos iguales a $w$ y así $$ pf(x^*(p,w)) w · x^*(p,w) \geq pf(x^*(p,w')) w' · x^*(p,w')$$ o de forma equivalente $\pi(p,w) \geq \pi(p,w')$ .

EDIT 2. Si el precio de salida $p$ es endógena y se ajusta a la oferta y demanda de producción agregada, como parece ser el caso de su pregunta, la cuestión ha sido tratada por:
Heiner, R. A. (1982): "Theory of the Firm in "Short-Run" Industry Equilibrium", American Economic Review, 72, 555-62.
Braulke, M. (1984): "The Firm in Short-Run Industry Equilibrium: Comment", American Economic Review, 74, 750-753.