Modelo urbano básico de Brueckner, estática comparativa

Question

Estaba leyendo "Lectures on Urban Economics" (2011) de Jan Brueckner, que es una explicación "rigurosa, pero no técnica" de varios temas de economía urbana. Se suponía que era una lectura ligera para las vacaciones, pero mi existencia bobalicona se preguntaba cómo hacer las cuentas de una sección concreta. El modelo de consumo al comienzo del capítulo 2 se basa en su trabajo en un capítulo específico del Handbook of Regional and Urban Economics. Puede encontrar el artículo más detallado aquí pero un versión no de pago aquí puede ser más útil como referencia. Distinguiré entre la referencia a las "conferencias" más sencillas y el "artículo de Muth-Mills" que he enlazado.

---

El modelo urbano, muy simple, hace que todos se desplacen a un punto en el centro de la ciudad y que todos tengan las mismas preferencias. Los desplazamientos tienen un coste y hay dos bienes que se pueden comprar: el tamaño de la vivienda, que se alquila, y un bien de consumo que lo engloba todo.

Matemáticamente, el problema es:

$$\max_{\{c, q \}} \quad v(c, q)$$ $$\text{s.t.} \quad c + pq = y - tx$$

$c$ es el consumo (un bien numérico), $p$ es el precio de alquiler por pie cuadrado, $q$ son los pies cuadrados de espacio de la vivienda, $y$ es el ingreso idéntico que todos obtienen al trabajar, $t$ es el precio constante de la conducción por kilómetro, y $x$ es la distancia en millas desde el centro de la ciudad. Y por supuesto $v$ es la función de utilidad.

Dado que todos los consumidores son idénticos en este modelo, el precio de equilibrio se caracteriza por la obtención de la misma utilidad independientemente del lugar en el que se decida vivir. Si vives en los suburbios (más lejos del centro de la ciudad), eliges mucho espacio para vivir pero menos consumo, y tu viaje al trabajo es más largo. Si vives más cerca de la ciudad, eliges un espacio de vivienda menor y más consumo, con un tiempo de desplazamiento menor.

La curva de indiferencia que dibuja en las conferencias implica preferencias convexas, así que lo tendremos en cuenta para caracterizar $v$ . Su principal conclusión en las conferencias es que $p$ cae como $x$ aumenta, y $q$ sube y $x$ se levanta.

---

Intuitivamente, todo esto tiene mucho sentido para mí, pero aunque puedo encontrar $\frac{\partial p}{\partial x}$ No puedo encontrar $\frac{\partial q}{\partial x}$ , incluso siguiendo el artículo de Muth-Mills, hay un derivado total que me está dando problemas.

He encontrado $\frac{\partial p}{\partial x}$ simplemente reordenando la restricción presupuestaria para que diga

$$p = \frac{y - tx - c}{q}$$

y la derivada es:

$$\frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{t}{q}$$

No se puede hacer lo mismo con $\frac{\partial q}{\partial x}$ Como el signo no sería correcto, pensé en la razón y pensé que probablemente tiene que ver con el hecho de que $q$ se elige condicionado a $p$ . Fue entonces cuando me dirigí al artículo de Muth-Mills.

En ella, la maximización sustituye a $c$ incorporando la restricción presupuestaria.

$$\max_q \quad v(y - tx - pq, q)\tag{1}$$

La condición de primer orden establece la tasa marginal de sustitución igual a la relación de precios:

$$\frac{v_2(y - tx - pq, q)}{v_1(y - tx - pq, q)} = p \tag{2}$$

Y en el equilibrio tienes que alcanzar la misma utilidad sin importar dónde elijas vivir en la ciudad. (Así que en lugar de fijar el precio, fijamos la utilidad en este modelo).

$$v(y - tx - pq, q) = u \tag{3}$$

El artículo nos pide entonces que tomemos la derivada total de $(3)$ con respecto a $x$ y llegar a:

$$-v_1 \left( t + \frac{\partial p}{\partial x} q + p \frac{\partial q}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} = 0 \tag{4}$$

Y como $(2)$ implica $v_2 = pv_1$ El artículo incluye esta información en $(4)$ para encontrar la estática comparativa para $p$ dado un cambio en $x$ :

$$\frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{t}{q}\tag{5}$$

Finalmente, el artículo llega a alguna forma de la estática comparativa que me interesa:

"Obsérvese que, como la utilidad es constante, el aumento de $q$ corresponde exactamente al efecto de sustitución de la disminución del precio de la vivienda. Formalmente, se deduce que

$$\frac{\partial q}{\partial x} = \eta\frac{\partial p}{\partial x} \tag{6}$$

donde $\eta < 0$ es la pendiente de la curva de demanda compensada por la renta (utilidad constante)".

---

Así que mi pregunta principal realmente es cómo rellenar los pasos para calcular la derivada total de $(3)$ ? Creo que me sentiré realmente bastante tonto cuando veo la respuesta, pero parece que no puedo averiguar dónde están las dependencias al tratar de configurar la regla de la cadena aquí.

Lo más parecido a un intento coherente que he conseguido ha sido expresar la derivada total como:

$$\frac{\partial v(y - tx - pq, q)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial (y - tx - pq)} \cdot \frac{\partial (y - tx - pq)}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial q} \cdot \frac{\partial q}{\partial x}$$

pero no estoy seguro de si esto es correcto o de cómo proceder (cómo dividir aún más el primer conjunto de parciales en partes apropiadas para la regla de la cadena).

Además Me pregunto cómo llegar a $(6)$ que me imagino que es una especie de descomposición de Slutsky, pero todavía no he tocado esta parte del modelo. Voy a dar un bono para esta sección más difícil porque escribir un montón de matrices no parece muy divertido. Espero que alguien por ahí durante las vacaciones esté por aquí para ayudar, y gracias de antemano.

---

Referencias:

Brueckner, Jan K. "La estructura de los equilibrios urbanos: Un tratamiento unificado del modelo muth-mills". En Handbook of Regional and Urban Economics, vol. 2, pp. 821-845. Elsevier, 1987.

Answer 1

$\require{cancel}$ Comienza con el hecho de que $v = v(c, q)$ y utilizar el regla del triple producto

$$ \left(\frac{\partial v}{\partial c}\right)\left(\frac{\partial c}{\partial q}\right)\left(\frac{\partial q}{\partial v}\right) = -1\tag{1} $$

Ahora usa

$$ \color{orange}{c = y - tx - pq} \Rightarrow~ \frac{\partial c}{\partial q} = -p \tag{2} $$

para concluir

$$ \frac{\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial q}}}{\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial c}}} = -\frac{\partial c}{\partial p} = +p \tag{3} $$

Ahora llama

\begin{eqnarray} \color{blue}{v_1} &=& \color{blue}{\frac{\partial v}{\partial c}} \\ \color{red}{v_2} &=& \color{red}{\frac{\partial v}{\partial q}} \tag{4} \end{eqnarray}

Y llegas a la conclusión

$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { \frac{v_2(c, q)}{v_1(c, q)} = p } \tag{5} $$

ahora que esto está hecho, sólo tenemos que utilizar la regla de la cadena

\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x} &=& \color{blue}{\frac{\partial v}{\partial c}} \frac{\partial c}{\partial x} + \color{red}{\frac{\partial v}{\partial q}} \frac{\partial q}{\partial x} \\&=& \color{blue}{v_1}\frac{\partial}{\partial x}\left(\color{orange}{y - tx - pq} \right) + \color{red}{v_2} \frac{\partial q}{\partial x} \\ &=& v_1\left(\cancelto{0}{\frac{\partial y}{\partial x}} - t\cancelto{1}{\frac{\partial x}{\partial x}} - p\frac{\partial q}{\partial x} - q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} \\ &=& -v_1 \left(t + p \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray}

Desde que arreglas $u$ entonces $v = u = {\rm const}$ por lo que el h.l. de esta última expresión es 0 y

$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { -v_1 \left(t + p \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} = 0 } \tag{6} $$