la relación entre la tasa de crecimiento del PIB, el PIB per cápita y la población

Question

Estaba leyendo El capital en el siglo XXI de Thomas Piketty y dice que la tasa de crecimiento del PIB es igual a la tasa de crecimiento del PIB per cápita más la tasa de crecimiento de la población, y me pregunto por qué es así.
Matemáticamente, $Y = y * N$ por definición, y no tengo ni idea de cómo podemos conseguir $Y'-1=(y'-1)+(N'-1)$ de la ecuación anterior. ¿O estoy entendiendo mal?

Answer 1

Comience por definir el PIB per cápita:

$$\text{GDPpc}= \frac{Y}{N} \tag{1}$$

donde $Y$ es el PIB y $N$ de la población. Toma el registro de ambas partes:

$$ \ln \text{GDPpc}= \ln Y - \ln N \tag{2}$$

Tomar la derivada temporal de ambos lados (nótese que todas las variables son implícitamente funciones de $t$ por lo que está permitido):

$$ \frac{\dot{ \text{GDPpc} }}{\text{GDPpc} } = \frac{\dot{ Y} }{Y } - \frac{\dot{N}}{N} \tag{3}$$

Ahora resuelva la tasa de crecimiento de $Y$

$$ \underbrace{\frac{\dot{ Y} }{Y } }_{\text{GDP Growth}}= \underbrace{\frac{\dot{ \text{GDPpc} }}{\text{GDPpc} }}_{\text{GDPpc Growth}} + \underbrace{\frac{\dot{N}}{N}}_{\text{pop growth}} \tag{4}$$

La derivación anterior está expresada en tiempo continuo, pero hay que tener en cuenta $\frac{\dot{X}}{X}$ es sólo un análogo continuo directo del crecimiento discreto $\frac{X_t-X_{t-1}}{X_t}= \frac{\Delta X_t}{X_t}$ (para algún infinitesimal $\Delta$ son iguales para el delta grande sólo sería una aproximación) por lo que si se quiere pasar a tiempo discreto se obtiene:

$$ \underbrace{\frac{\Delta Y }{Y } }_{\text{GDP Growth}}= \underbrace{\frac{\Delta \text{GDPpc} }{\text{GDPpc} }}_{\text{GDPpc Growth}} + \underbrace{\frac{\Delta N}{N}}_{\text{pop growth}} \tag{5}$$

Answer 2

En tiempo discreto (en el que se libera el PIB), la afirmación sólo es cierta en aproximación. Los economistas suelen utilizar este tipo de aproximación de forma implícita.

Escriba el PIB per cápita como $y = \frac{Y}{N}$ .

Entonces, el crecimiento del PIB per cápita está relacionado con el crecimiento del PIB y de la población: $$ \frac{y_t}{y_{t-1}} = \frac{Y_t}{N_t}\frac{N_{t-1}}{Y_{t-1}} $$ Así, la tasa de crecimiento bruto del PIB per cápita es en realidad el producto de las tasas de crecimiento bruto del PIB y de la población. Sin embargo, podemos utilizar $\log(1+r)\approx r$ donde $r$ es la tasa de crecimiento (neta) y relativamente pequeña (digamos 0,025 interanual). Así, para una tasa de crecimiento neto $r$ de $x$ , $$1+r = 1+\frac{x_t - x_{t-1}}{x_{t-1}} = \frac{x_t}{x_{t-1}}$$ obtenemos $$ r \approx \log(1+r) = \log\biggl(\frac{x_t}{x_{t-1}}\biggr) $$

Aplicando esto a la relación entre las tasas de crecimiento se obtiene $$ \biggl(\frac{y_t}{y_{t-1}}-1\biggr) \approx \biggl( \frac{Y_t}{Y_{t-1}}-1\biggr) - \biggl(\frac{N_t}{N_{t-1}}-1 \biggr) $$ donde los términos entre paréntesis son la tasa de crecimiento del PIB per cápita, el PIB y la población, respectivamente. Reordenando los términos se obtiene la afirmación (en aproximación).

Answer 3

Si consideramos un periodo largo en el que tanto el PIB per cápita como la población crecen considerablemente, el crecimiento del PIB a lo largo del periodo será significativamente mayor que la suma del crecimiento de las primeras cantidades. Supongamos que durante una década, el PIB per cápita y la población crecen ambos un 20%. Entonces el PIB habrá crecido en:

$$\Big[\Big(1 + \frac{20}{100}\Big)\Big(1 + \frac{20}{100}\Big) - 1\Big]\times 100 = 44\% > 20\% + 20\% = 40\%$$

Sin embargo, cuando se consideran períodos cortos con pequeños cambios, la suma del crecimiento del PIB per cápita y de la población da una buena aproximación al crecimiento del PIB. Haciendo un cálculo similar con un crecimiento del PIB per cápita y de la población de sólo el 2%, encontramos que el PIB crece en:

$$\Big[\Big(1 + \frac{2}{100}\Big)\Big(1 + \frac{2}{100}\Big) - 1\Big]\times 100 = 4.04\%$$

Por lo tanto, en este caso el grado de aproximación es sólo del 0,04%.

Cuando las tasas de crecimiento se miden en tiempo continuo y no en un periodo, entonces (como se explica en la respuesta de 1muflon1) la suma de las tasas de crecimiento del PIB per cápita y de la población da exactamente la tasa de crecimiento del PIB.