¿Cómo puede utilizarse la medida neutral de riesgo a plazo para derivar el modelo de Black?

Question

En la derivación del libro de texto de Hull del modelo de Black (sección 27.6), aplican la ecuación (27.20), que es $f_0 = P(0,T)E_T(f_T)$ , donde $P(0,T)$ es el valor de un bono cupón cero en el momento $0$ que vence en $T$ y $E_T$ es la expectativa con respecto a la medida neutral de riesgo a futuro del bono cupón cero.

Se establecen $f_T=\max(S_T-K,0)$ hasta el pago de la llamada, y seguir a partir de ahí.

Sin embargo, $f_0 = P(0,T),E_T(f_T)$ se derivó en la sección 27.3 asumiendo que $f_t$ satisface $df = \mu f dt + \sigma f dz$ .

Mi pregunta:

1. ¿Por qué es válido establecer $f_T=\max(S_T-K,0)$ ? Es decir, ¿cómo demostramos que $f_t$ satisface $df = \mu f dt + \sigma f dz$ ?

2. ¿Son todos los derivados europeos $f_T$ ¿también de esta forma?

Answer 1

La ecuación $f_T = \max \{ S_T - K, 0 \}$ no es una suposición, esto es cierto por definición de lo que es una opción de compra. Es una opción que, en el momento del vencimiento $T$ da el valor $\max\{ S_T - K, 0\}$ al titular.

Y sí, las opciones $f_t$ seguir la difusión $dF_t = \mu dt + \sigma dW_t$ porque la acción subyacente (o el forward) también sigue un proceso Ito, y como la opción es un función de ese subyacente, se puede aplicar la fórmula de Ito para averiguar que la opción también sigue una difusión de Ito.

Desde Wikipedia :

En este caso, su spot o forward subyacente está representado por $X_t$ y su opción es una función $F(X, t)$ que, como dice el lema, también sigue una difusión Ito.