Transformada de Fourier de una put europea

Question

En el libro Los conceptos y la práctica de las finanzas matemáticas En el contexto de la ilustración del modelo de volatilidad estocástica, la transformada de Fourier $\hat{P}(\xi, V, T)$ de una puesta europea $P(x, V, T)$ aparece como

$$ \hat{P}(\xi, V, T) = - \frac{K^{i \xi + 1}}{\xi^2 - i \xi} $$

donde $x = \log S$ es el logaritmo de los valores subyacentes del mundo real $S$ , $\xi$ la respectiva variable de Fourier, $V$ es el vol. cuadrado, $T$ la madurez del tiempo, $i$ la unidad imaginaria. Mi desarrollo de la integral de Fourier, utilizando $K - e^x$ como pago de la opción de venta, conduce a un resultado diferente:

$$ \hat{P}(\xi, V, T) = \int e^{i \xi x} ( K - e^x ) dx =\\ \frac{K}{i \xi} e^{i \xi x} - \frac{1}{1 + i \xi} e^{(1 + i \xi) x} = e^{i \xi x} \frac{K + i \xi (K - e^x)}{i \xi - \xi^2} $$

¿En qué me he equivocado? ¿Cómo llegar al resultado del libro?

Answer 1

La transformada de Fourier generalizada $\hat{P}(z)$ del pago de una opción de venta con $P(x)=\max\{e^k-e^x,0\}$ es \begin{align*} \hat{P}(z) &= \int_{-\infty}^\infty e^{izx} \left( e^k - e^x \right)^+ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^k \left( e^ke^{izx}-e^{i(z-i)x} \right)\mathrm{d}x \\ &= \left[ e^k\frac{e^{izx}}{iz} -\frac{e^{i(z-i)x}}{i(z-i)} \right]_{-\infty}^k \\ &= \left( e^k\frac{e^{izk}}{iz} - \frac{e^{i(z-i)k}}{i(z-i)} \right)-0\\ &= \frac{e^{i(z-i)k}}{iz} - \frac{e^{i(z-i)k}}{i(z-i)} \\ &= -\frac{e^{ik(z-i)}}{z(z-i)}. \end{align*} El cálculo anterior sólo es válido si el sumando de $x=-\infty$ efectivamente es igual a cero. En general, si $z\in\mathbb{R}$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}e^{ixz}$ no tiene sentido ya que $e^{izx}$ se limita a describir puntos del círculo unitario en torno al origen. Sin embargo, si $z=a+ib$ es complejo, $e^{izx}=e^{-bx} e^{iax}$ que al menos converge a cero como $x\to-\infty$ si $b=\text{Im}(z)<0$ ya que contrae el círculo unitario en el origen. Equivalentemente, $\lim\limits_{x\to-\infty} |e^{izx}|=\lim\limits_{x\to-\infty} e^{-bx}=0$ si $b=\text{Im}(z)<0$ .

Por lo tanto, requerimos $\text{Im}(z)<0$ para el primer sumando y $\text{Im}(z-i)<0$ para este último. Ambas condiciones juntas conducen a $\text{Im}(z)<0$ . En consecuencia, la transformada de Fourier generalizada $\hat{P}(z)$ sólo está bien definida en la franja abierta $\mathcal{S}_P=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)<0\}$ .

La franja de regularidad para una opción de compra es $\mathcal{S}_C=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>1\}$ .

Nota: no es casualidad tener $i$ y $0$ como polos de la transformada de pago. Puedes utilizar los teoremas de inversión para ver cómo se relacionan con $N(d_1)$ y $N(d_2)$ (o probabilidades de ejercicio más generales).