Estoy tratando de entender la conexión entre la integridad del mercado y las medidas de riesgo neutral.
Un mercado es completo si y sólo si la medida de martingala equivalente es única. Pero si cambio a la $T$ -medida de avance ( $\mathbb{Q}^T$ ), tengo una medida equivalente a la medida de la cuenta numérica del mercado monetario ( $\mathbb{Q}$ ), es decir, dos medidas diferentes pero equivalentes. Entonces, ¿el mercado no está completo?
El mercado es completo si existe una única medida neutral al riesgo: cuando cada demanda contingente es alcanzable, su único precio de no arbitraje es el coste de la cartera de réplica.
En el caso de un mercado incompleto, ya no se tiene un precio único para la demanda contingente inalcanzable, sino un gama de los precios : $\left(-p\left(-G\right), p\left(G\right)\right)$ (ver Bouchard & Chassagneux para la notación) que corresponden a los precios de subreplicación y de superreplicación (precios más bajos y más altos a partir de los cuales el comprador o el vendedor pueden hacer un arbitraje) para el pago europeo $G$ . Si $\mathcal{Q}$ es el conjunto de medidas neutrales al riesgo, $-p \left(-G\right) = \inf\limits_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}}{\mathbb{E}^\mathbb{Q} \left(e^{- \int_0^T{r_t \mathrm{d}t}}G\right)}$ y $p \left(G\right) = \sup\limits_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}}{\mathbb{E}^\mathbb{Q} \left(e^{- \int_0^T{r_t \mathrm{d}t}}G\right)}$ : ahí se puede ver que hay infinitas medidas neutrales al riesgo, y a cada una le corresponde un precio dentro del rango de precios.
El $T$ -La medida a plazo no es otra medida neutral al riesgo: el activo utilizado como numerario es diferente (el $T$ -bono de cupón cero frente a la cuenta del mercado monetario). Para cualquier medida neutral de riesgo $\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}$ puede obtener un equivalente $T$ -medida anticipada $\mathbb{Q}^T \in \mathcal{Q}^T$ y usted tiene de manera similar que $-p \left(-G\right) = B\left(0, T\right)\inf\limits_{\mathbb{Q}^T \in \mathcal{Q}^T}{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T} \left(G\right)}$ y $p \left(G\right) = B\left(0, T\right)\sup\limits_{\mathbb{Q}^T \in \mathcal{Q}^T}{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T} \left(G\right)}$ .
Si el mercado es completo, el conjunto de medidas neutrales al riesgo es $\mathcal{Q} = \left\{\mathbb{Q}\right\}$ el conjunto de $T$ -medidas de avance es $\mathcal{Q}^T = \left\{\mathbb{Q}^T\right\}$ y el precio de un crédito contingente europeo con pago $G$ viene dada por $$ V_0 = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left(e^{- \int_0^T{r_t \mathrm{d}t}}G\right) = B \left(0, T\right)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T} \left(G\right) $$
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