Prueba de la paridad put call

Question

En mis notas del curso sobre la paridad put-call, la prueba se presenta repasando dos desigualdades, a saber $\text{RHS} > \text{LHS}$ implica arbtiraje y $\text{RHS} < \text{LHS}$ implica el arbitraje. Por lo tanto, concluyen, $\text{RHS} = \text{LHS}$ .

Esta estrategia es legítima, pero tengo la sensación de que la siguiente prueba es más sencilla.

$\textbf{Lemma 1 (law of one price):}$ Si dos carteras tienen el mismo beneficio en el momento del vencimiento $T$ entonces para todos los tiempos anteriores $t<T$ el precio de la cartera debe ser igual.

$\textbf{Proof:}$ La prueba puede hacerse fácilmente derivando el arbitraje por contradicción.

$\textbf{Theorem (put-call parity)}:$ Dejemos que $P_0$ sea el precio de una opción de venta europea con strike $K$ y fecha de maduración $T$ . Sea $C_0$ sea el precio de una call europea con los mismos parámetros que la put, y $r$ sea una tasa libre de riesgo. Sea $S_0$ sea el precio de una acción en $t=0$ . Entonces $$S_0 + P_0 = D(r)K + C_0,$$ donde $D(r)$ es el descuento de la cuenta bancaria sin riesgo.

$\textbf{Proof:}$ Resulta que las carteras $\{\text{own a put, stock}\}$ y $\{D(r)K\text{ in risk-free bank, own a call}\}$ obtener el mismo beneficio en el tiempo $T$ . Entonces por el lema 1 en todo momento $t<T$ deben valer lo mismo, así también para $t=0$ .

¿Hay algún problema con esta prueba?

Answer 1

En las finanzas cuantitativas suele haber dos formas de escribir pruebas de igualdades (como la paridad put-call).

1. Por replicación,

2. construyendo el arbitraje.

Ambos son en realidad lo mismo, ya que el primero se realiza haciendo, por ejemplo, dos carteras, $A$ y $B$ y demostrando que tienen el mismo resultado en el tiempo $t=T$ . Entonces, por el argumento de LOOP (ley de un precio), se puede argumentar que las dos carteras deben tener el mismo precio para todos $t\leq T$ .

Pero tenga en cuenta que el LOOP es en realidad sólo un corolario de la hipótesis de no arbitraje. Así que los dos métodos de prueba son sólo argumentos por la suposición de no arbitraje.

Por lo tanto, la prueba publicada en la pregunta es correcta, sin embargo, usted podría encontrar una prueba en un libro de texto que argumenta directamente desde el supuesto de no arbitraje de la siguiente manera:

1. Supongamos que $S_0 + P_0 > D(r)K + C_0$ y derivar una posición de arbitraje y,

2. Supongamos que $S_0 + P_0 < D(r)K + C_0$ y derivar una posición de arbitraje.

Concluir $S_0 + P_0 = D(r)K + C_0$ .

Aunque el argumento por LOOP suele ser más corto, a veces es preferible argumentar directamente a partir de un supuesto de no arbitraje.