Si se asume que sus rendimientos se distribuyen normalmente iid $R_i \sim \mathcal{N}(0, 1)$ Entonces, con la segunda definición, y utilizando la fórmula proporcionada por @ZRH...
$$E[DD] = \sqrt{\int_{-\infty}^{c}x^2\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2}) dx }$$
Así que ampliando esto (integración por partes) se obtiene;
$$E[DD] = \sqrt{ \left [ - x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{x^2}{2}) \right ]_{-\infty}^c + \int_{-\infty}^{c} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2})} $$
que es (donde $\Phi(c)$ es la función de distribución acumulativa normal),
$$ E[DD] = \sqrt{ -\frac{c}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{c^2}{2}) + \Phi(c) } \;.$$
Ahora está proponiendo una estimador , $\theta(T)$ para este valor basado en la segunda definición. Debe preocuparse por el sesgo ;
$$Bias(\theta) = E[\theta - E[DD]] $$ $$Bias(\theta) = E \left [\sqrt{\frac{1}{T}\sum_i^T \min(0, x_i-c)^2} \right ] - E[DD] $$
La razón por la que menciono esto es porque presumiblemente una anualización implicará alguna multiplicación del resultado, y si el sesgo no es cero se estará amplificando este error de la muestra, y si hay una gran varianza en este estimador entonces al anualizar, de nuevo, se estará amplificando un estimador potencialmente pobre.
No pude ampliar lo anterior por falta de tiempo o de capacidad (no me quedó claro cuál era) pero incluso en este sencillo caso de normalidad estándar no me queda claro qué hacer. Esto podría no haber sido necesariamente tan malo: el sesgo podría haber sido cero y la varianza pequeña.
