Anualización de la desviación a la baja

Question

¿Es posible anualizar la desviación a la baja? Si es así, ¿en base a qué teoría?

La desviación a la baja (DD) de una serie de rendimientos diarios se calcula según la fórmula:

$\text{DD} = \sqrt{\frac{1}{{T}}\sum_{t=1}^{T}(\text{min}(\text{ret}_t,\text{thr}))^2}$

donde T es el número de observaciones diarias y thr es un umbral, por ejemplo 0 o la media de los rendimientos.

También se utilizan otras definiciones, según lo que queramos que represente la fórmula. Por ejemplo:

$\text{DD} = \sqrt{\frac{1}{{T}}\sum_{t=1}^{T}(\text{min}((\text{ret}_t - \text{thr}),0))^2}$

Answer 1

La DD es básicamente la media de los rendimientos al cuadrado condicionada a que los rendimientos sean menores que $thr$ . Si $\rho(\xi)$ es la distribución de los rendimientos, entonces el equivalente continuo de su fórmula es:

$E[\mathit{DD}]=\sqrt{\int_{-\infty}^{thr}\xi^2\rho(\xi)d\xi}$

Así que, básicamente, siempre que se asuma $\rho(\xi)$ es estacionario, $E[\mathit{DD}]$ no será una función del tiempo de observación.

Answer 2

Si se asume que sus rendimientos se distribuyen normalmente iid $R_i \sim \mathcal{N}(0, 1)$ Entonces, con la segunda definición, y utilizando la fórmula proporcionada por @ZRH...

$$E[DD] = \sqrt{\int_{-\infty}^{c}x^2\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2}) dx }$$

Así que ampliando esto (integración por partes) se obtiene;

$$E[DD] = \sqrt{ \left [ - x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{x^2}{2}) \right ]_{-\infty}^c + \int_{-\infty}^{c} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2})}$$

que es (donde $\Phi(c)$ es la función de distribución acumulativa normal),

$$E[DD] = \sqrt{ -\frac{c}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{c^2}{2}) + \Phi(c) } \;.$$

Ahora está proponiendo una estimador , $\theta(T)$ para este valor basado en la segunda definición. Debe preocuparse por el sesgo ;

$$Bias(\theta) = E[\theta - E[DD]]$$ $$Bias(\theta) = E \left [\sqrt{\frac{1}{T}\sum_i^T \min(0, x_i-c)^2} \right ] - E[DD]$$

La razón por la que menciono esto es porque presumiblemente una anualización implicará alguna multiplicación del resultado, y si el sesgo no es cero se estará amplificando este error de la muestra, y si hay una gran varianza en este estimador entonces al anualizar, de nuevo, se estará amplificando un estimador potencialmente pobre.

No pude ampliar lo anterior por falta de tiempo o de capacidad (no me quedó claro cuál era) pero incluso en este sencillo caso de normalidad estándar no me queda claro qué hacer. Esto podría no haber sido necesariamente tan malo: el sesgo podría haber sido cero y la varianza pequeña.