Modelo Solow, tasa de crecimiento de K/L e Y/L en estado estacionario

Question

Me han dado la siguiente configuración:

$$ Y=K^\theta (AL)^{1-\theta }$$

Donde Y = Producción, K = Capital, L = Trabajo y A = Productividad.

$$ \frac{\dot{L}}{L} = n $$ $$ \frac{\dot{A}}{A} = g $$

La ecuación de acumulación de capital también se ha dado como:

$$ \dot{K} = sY - \delta K $$

Utilizando esto, he calculado las expresiones para el capital por trabajador y la producción por trabajador en el estado estacionario como

$$ \frac{K}{L} = A(\frac{s}{n+g+\delta })^{\frac{1}{1-\theta }} $$

$$ \frac{Y}{L} = A(\frac{s}{n+g+\delta })^{\frac{\theta }{1-\theta }} $$

Las siguientes preguntas son: Calcule las tasas de crecimiento del capital por trabajador y de la producción por trabajador que se mantendrán a medida que la economía se desplace por una senda de crecimiento en estado estacionario.

Esto es confuso porque tenía la impresión de que el crecimiento del capital y del trabajo en el estado estacionario es 0, y por lo tanto el crecimiento de K/L e Y/L también debería ser 0. Sin embargo, esto parece incorrecto y creo que la respuesta debería ser g. ¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

Si $Y = C \cdot X$ donde $C$ es constante y $\frac{\dot{X}}{X} = g$ entonces podemos resolver para $\frac{\dot{Y}}{Y}$ de la siguiente manera: $$ \frac{d}{dt} Y = \frac{d}{dt} C \cdot X = C \cdot \frac{dX}{dt} = C \cdot \dot{X} \Rightarrow$$ $$ \frac{\dot{Y}}{Y} = \frac{C \cdot \dot{X}}{ C \cdot X} = \frac{\dot{X}}{X} = g$$

Por lo tanto, como has concluido, ambos crecen a un ritmo $g$ .