SDF como una transformación afín de la cartera de tangencia

Question

Estoy estudiando esto papel . En la formulación de la configuración teórica afirman:

Nuestro objetivo es explicar las diferencias en la sección transversal de los rendimientos $R$ para las acciones individuales. Dejemos que $R_{t+1, i}$ denotan la rentabilidad del activo $i$ en el momento $t+1 .$ La hipótesis fundamental de no arbitraje es equivalente a la existencia de un factor de descuento estocástico (FDE) $M_{t+1}$ de tal manera que para cualquier rendimiento que supere el tipo libre de riesgo $R_{t+1, i}^{e}=R_{t+1, i}-R_{t+1}^{f},$ tiene $$ \mathbb{E}_{t}\left[M_{t+1} R_{t+1, i}^{e}\right]=0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{E}_{t}\left[R_{t+1, i}^{e}\right]=\underbrace{\left(-\frac{\operatorname{Cov}_{t}\left(R_{t+1, i}^{e}, M_{t+1}\right)}{\operatorname{Var}_{t}\left(M_{t+1}\right)}\right)}_{\beta_{t, i}} \cdot \underbrace{\frac{\operatorname{Var}_{t}\left(M_{t+1}\right)}{\mathbb{E}_{t}\left[M_{t+1}\right]}}_{\lambda_{t}} $$ donde $\beta_{t, i}$ es la exposición al riesgo sistemático y $\lambda_{t}$ es el precio del riesgo. $E_{t}[.]$ denota la expectativa condicionada a la información en el momento $t .$ El SDF es una transformación afín de la cartera de tangencia. Sin pérdida de generalidad consideramos la formulación SDF $$ M_{t+1}=1-\sum_{i=1}^{N} \omega_{t,i} R_{t+1, i}^{e}=1-\omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e} $$

Como fuentes mencionan el libro de Chochrane (Asset Pricing) y el de Back (Asset Pricing and Portfolio Choice Theory) pero no encuentro una derivación de $a=1, b=-1$ .

P: ¿Cómo puede el considerado SDF $M_{t+1} = a + b \omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e}$ con $\omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e}$ de la cartera de tangencia, $a=1$ y $b=-1$ ¿se derivan?

Answer 1

Volviendo a mi propia pregunta, después de replicar el documento con éxito para mi tesis, encontré que mi FDS resultante es siempre estrictamente positiva y rondando el valor 1, tal y como se esperaba dada la formulación. Entonces, también miré sus datos y el código y me di cuenta de que esta formulación es tal vez sólo una manera de "hacer cumplir" el No-Arbitraje (NA). Porque en la presentación de la tesis un profesor me preguntó:

"¿Cómo se garantiza realmente la NA en su código?"

Yo no, y ellos tampoco. En concreto, la ley de un precio (LOOP) implica la existencia de al menos un FAD que satisfaga

$$ \mathbb{E}_{t}\left[M_{t+1} R_{t+1, i}^{e}\right]=0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{E}_{t}\left[R_{t+1, i}^{e}\right]=\underbrace{\left(-\frac{\operatorname{Cov}_{t}\left(R_{t+1, i}^{e}, M_{t+1}\right)}{\operatorname{Var}_{t}\left(M_{t+1}\right)}\right)}_{\beta_{t, i}} \cdot \underbrace{\frac{\operatorname{Var}_{t}\left(M_{t+1}\right)}{\mathbb{E}_{t}\left[M_{t+1}\right]}}_{\lambda_{t}} $$

mientras que la ausencia de oportunidades de arbitraje (NA) en mercados incompletos equivale a la existencia de al menos un SDF estrictamente positivo . Por lo tanto, su objetivo es estimar uno de los posibles muchos FDS estrictamente positivos.

Dado que no garantizan explícitamente NA en su código, asumo que la elección

$$ M_{t+1}=1-\sum_{i=1}^{N} \omega_{t,i} R_{t+1, i}^{e}=1-\omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e} $$

se hizo de tal manera que el SDF resultante es muy probablemente positivo todo el tiempo y, por lo tanto, un candidato adecuado SDF en mercados incompletos sin oportunidades de arbitraje. Por supuesto, dado que $\omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e}$ es un retorno, puede superar el 100% en algún momento, lo que llevaría a un FAD negativo. Es poco probable, pero no imposible. Sólo es mi mejor suposición en este momento.

Answer 2

¿Sería apropiado decir que la escala ( $b$ ) en los pesos ( $w_{t,i}$ ) es irrelevante porque se puede elegir un escalado de $w_{t,i}$ que satisfaga este requisito?

Además, si $a \neq 1$ Más adelante en el documento definen $R^e_{t+1,i} = \beta_{t,i}F_{t+1} + \epsilon_{t+1,i}$ donde $F_{t+1} = w_t^{\text{T}} R^e_{t+1}$ por lo que ya no tenemos el $a$ de todos modos cuando hacemos nuestra aproximación de $\hat{M}_{t+1}$ con $(\beta_t \beta_t)^{-1} \beta_t^T R^e_{t+1}$ ya no tenemos el $a$ plazo.

¿Sabe por qué la regresión de los rendimientos sobre las cargas daría como resultado $M_{t+1}$

(Espero que este comentario fomente el debate)