Diferencia entre logit multinomial y logit condicional

Question

Estoy tratando de decidir si ejecutar un logit multinomial o un logit conditonal (McFadden, 1973). Tengo datos de un estudio conjunto basado en la elección en el que cada una de las elecciones del encuestado era entre un par de productos con características variables, incluido el precio. Cada una de las características es una variable continua, si es que eso importa. Quiero estimar una disposición marginal a pagar por cada una de las características. Las explicaciones típicas de las diferencias entre los dos modelos son las siguientes:

El logit multinomial modela una elección en función del del selector características, mientras que el logit condicional modela la elección en función del opciones". características.

Según esta lógica, me inclinaría por un logit condicional dado que estoy tratando de estimar una disposición marginal a pagar por cada característica. Por otro lado, los valores que estimo para esto dependen totalmente de las preferencias de los encuestados, por lo que se podría decir que realmente estoy estimando algo relacionado con las preferencias de los encuestados, en lugar de algo innato sobre las características de las elecciones.

¿Alguien tiene una idea más clara de las diferencias entre los modelos y/o reflexiones sobre cuál sería más apropiado en este escenario?

Answer 1

Sería mucho mejor tener al menos una cabeza de su conjunto de datos para estar seguros, pero por la descripción logit condicional es el camino a seguir (aunque, en la práctica, debería utilizarse el logit de coeficientes aleatorios para evitar la IIA -independencia de alternativas irrelevantes-).

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Formulario general : Piensa en ambos modelos como casos especiales de algún modelo general de elección discreta. Me he acostumbrado a la convención de que el índice $i$ es para particulares y $j$ es para las alternativas.

$$ \pi_i(Y = j|\mathbf{z})= \frac{\exp{(\boldsymbol{\beta}^\top}\mathbf{z}_j)}{\exp{(\boldsymbol{\beta}^\top}\mathbf{z}_1) \: + \:... +\: \exp{(\boldsymbol{\beta}^\top}\mathbf{z}_J)}$$

Observe que $\mathbf{z}_j$ y $\boldsymbol{\beta}$ son vectores de longitud $J \times K$ , donde $K-1$ es el número de características [para más detalles, véase Agresti(2002:300)]. Es importante entender que tenemos un término para cada alternativa en el denominador de este softmax función.

Podemos derivar mlogit y clogit poniendo a cero diferentes elementos de estos vectores. Así obtenemos diferentes modelos.

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Para los simples mlogit con $J = 3$ opciones (alternativas) y un característica individual (atributo del que elige) podemos encontrar la probabilidad de elegir cada alternativa. Por ejemplo, la probabilidad de elegir la segunda alternativa por un individuo es:

$$ P_{i2}(x_i)= \frac{\exp(\alpha_2 + \beta_2 x_i)} {1 + \exp(\alpha_2 + \beta_2 x_i) + \exp(\alpha_3 + \beta_3 x_i)}$$

Es importante señalar que existe la función de una variable $x_i$ (no cambia entre alternativas para el mismo individuo). Otro punto es que los coeficientes son diferentes para todas las alternativas. Por último, podemos utilizar los interceptos $\alpha_j$ en mlogit, porque son diferentes y se pueden identificar (si establecemos $\alpha_1$ y $\beta_1$ a $0$ - por eso el 1 en el denominador).

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Para clogit la situación es bastante diferente, porque tenemos diferentes valores de la misma característica para cada alternativa. Así, el modelo con 3 alternativas y una característica adopta la siguiente forma (es decir, la probabilidad de que el individuo $i$ elige la segunda alternativa):

$$ P_{i2}(\mathbf{x}_j)= \frac{\exp(\beta x_2)} {\exp(\beta x_1) + \exp(\beta x_2) + \exp(\beta x_3)}$$

Aquí tratamos la función de tres variables ( $\mathbf{x}_j$ ). En la medida en que estos valores son diferentes es suficiente con ajustar una sola $\beta$ que es el mismo para todas las alternativas. Por lo tanto, no necesitamos una alternativa base (sin unidad en el denominador). Por último, no podemos identificar ningún intercepto en dicho modelo, porque cualquier $\alpha$ simplemente desaparecerá en la relación softmax ("gracias" a la propiedad del exponente).

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¿Qué cosas son también importantes para ambos modelos? La forma común de ajustar ambos modelos es la máxima verosimilitud, aunque en el logit condicional esta verosimilitud también es condicional (simplemente significa que imponemos la condición que una y sólo una alternativa debe ser elegida por cada individuo).

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¿Cómo entender en la práctica qué modelo aplicar? Bueno, no obtendrá resultados si pone los datos de un modelo en el comando de otro modelo (el software estadístico se quejará de que no hay variabilidad en los datos).

Si tiene sus datos en largo forma, podría ser algo así:

Y   c_logit_feature    m_logit_attrib
--------------------------------------
0           3                 10
1           5                 10
0           7                 10
--------------------------------------
1           3                 12
0           5                 12
0           7                 12
--------------------------------------
...
--------------------------------------
0           3                 18
1           5                 18
0           7                 18
--------------------------------------

En el paquete habitual caben clogit de dicha configuración (utilizando la última columna como indicador de agrupación). Pero mlogit suele querer una forma diferente y este hecho (según mi experiencia) confunde a la mayoría de los usuarios. Si etiquetamos nuestras tres alternativas como "a", "b" y "c", la configuración mlogit derivada de la tabla anterior va a ser:

label  m_logit_ready
--------------------
"b"         10
"a"         12
...   
"b"         18

Los paquetes estadísticos modernos (como R o Stata) son capaces de trabajar con diferentes formatos, pero la idea general sigue siendo la misma.

Espero que eso ayude.