En el espíritu de la pregunta anterior que he hecho, aquí considerando el papel aquí Estoy tratando de hacer coincidir definición $2.2$ aquí.
Voy a dar dos definiciones y me gustaría aclarar cómo están conectadas
$\textit{Definition of a communication mechanism:}$ Un mecanismo de comunicación es un triple $\mathcal{C}=((T^i)_i, (Y^i)_i , l )$ , donde $T^i$ es $i's$ conjunto finito de mensajes, $Y^i$ es $i's$ conjunto finito de señales, y $l: T=(\Pi_{i\in I} T^i)\to \Delta(Y)$ es la función de la señal. Cuando $t$ es el perfil de los mensajes enviados por los jugadores al mecanismo, $y\in Y$ se dibuja según $l(t)$ y el jugador $i$ es informado de $y_i$ . Además, $\mathcal{T}_i=\Delta(T_i)$ representa el conjunto de mensajes mixtos para el jugador $i$ y $l$ se amplía a $\mathcal{T}$ por
$$\underbrace{l(\tau)( y)}_{l(y|\tau)}=\mathbb{E}_{\tau} l(t)( y)=\mathbb{E}_{\tau}l(y|t)=\sum_{\tau\in \mathcal{T}}l(y|t)\times \tau(t)$$ .
En este punto lo aclaro, $$l(\tau)(y)=l(y|\tau),\quad\text{some different way of defining the conditional expectation}$$ y, por lo tanto, como $l(\tau)(y)$ es una función de $y$ podríamos escribir para la sipmlicidad
$$\nu(y):=\sum_{\tau\in \mathcal{T}}l(y|t)\times \tau(t)=l(\tau)(y)$$
$\textit{Q1:}$ ¿Es correcto redifinir $l(\tau)(y)$ a $\nu(y)$ y cómo podría cambiar el $\sum$ a $\int$ ? Quiero decir, ¿podría estar bien ew-escribir $\nu(y)=\int_{\mathcal{T}}l(t|y)d(\tau(t))?$
la siguiente definición dice
$\textit{Definition of a game with a communication mechanism:}$ Dado un juego compacto $G$ y un mecanismo de comunicación $\mathcal{C}$ , entonces si $\Gamma(\mathcal{C}, G)$ es el juego $G$ ampliado por $\mathcal{C}$ se desarrolla de la siguiente manera:
- cada jugador $i$ envía un mensaje $t^i$ al mecanismo
- $y\in Y$ se dibuja según $l(t)$ y cada jugador $i$ es informado de $y^i$
- cada jugador $i$ elige $\sigma^i\in \Sigma^i$ según $y^i$
- el vector de pago es $g(\sigma)$ Una estrategia para el jugador $i$ viene dada por un mensaje mixto $\tau^i\in \mathcal{T}^i$ y por una mapeo $F^i: Y^i\to \Sigma^i$ . La función de recompensa viene dada por $$g_{\mathcal{C}}(\tau, F) =\mathbb{E}_{l(\tau)}g(F(y))$$
$\textit{Q1:}$ Supongo que como y se dibuja según l( \tau ) entonces el índice en la última función de pago debe ser $\mathbb{E}_{l(\tau)(y)}$ en lugar de $\mathbb{E}_{l(\tau)}$ ¿por qué no es así?
$\textit{Q3:}$ Al escribir la función de pago en términos de sumas o integrales (en lugar de términos en expexiones) si la distribución de la probabilidad es continua, ¿cuál va a ser la formulación?
