Elasticidades compuestas

Question

Consideremos la siguiente función compuesta

$$ \lambda(\theta(J)) $$

Si quieres pensarlo en términos más económicos, piensa en cómo los valores de las empresas $J$ afecta a la rigidez del mercado $\theta$ y a través de ello, las tasas de búsqueda de empleo $\lambda$ .

Dejemos que $\eta_{a,b}$ denotan la elasticidad de $a$ por ejemplo $b$ . Entonces tenemos, bajo un cierto abuso de la notación,

$$ \eta_{\lambda, J} = \frac{\partial \lambda}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial J} \cdot \frac{J}{\lambda} \\ \eta_{\lambda, J}= \frac{\partial \lambda}{\partial \theta} \frac{\theta}{\lambda}\frac{\partial \theta}{\partial J} \cdot \frac{J}{\lambda} \frac{\lambda}{\theta} \\ \eta_{\lambda, J}= \eta_{\lambda, \theta} \eta_{\theta, J} \frac{\lambda}{\theta} $$

¿Podría alguien darme una intuición para $\lambda / \theta$ en la última expresión? ¿Por qué la elasticidad total no es sólo la cadena de elasticidades? $\eta_{\lambda, \theta}\cdot \eta_{\theta, J}$ ?

Answer 1

Pero lo es, sólo hay un simple descuido en sus cálculos: En efecto, podemos escribir idénticamente

$$\eta_{\lambda, J} = \frac{\partial \lambda}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial J} \cdot \frac{J}{\lambda} \\ \implies \eta_{\lambda, J}= \left\{\frac{\partial \lambda}{\partial \theta} \frac{\theta}{\lambda}\right\}\left\{\frac{\partial \theta}{\partial J} \cdot \frac{J}{\lambda}\right\} \frac{\lambda}{\theta} $$

Pero el término entre las segundas llaves es no igual a $\eta_{\theta, J}$ . Tenemos que volver a organizarnos para conseguir

$$\eta_{\lambda, J}= \left\{\frac{\partial \lambda}{\partial \theta} \frac{\theta}{\lambda}\right\}\cdot \left\{\frac{\partial \theta}{\partial J} \cdot \frac{J}{\theta}\right\} \frac{\lambda}{\lambda} $$

La fracción al final ahora se cancela y así $$\eta_{\lambda, J}= \eta_{\lambda, \theta} \cdot\eta_{\theta, J} $$