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Dar sentido matemático a la expresión de la rentabilidad realizada de los bonos

Me encontré con la siguiente afirmación sobre la rentabilidad del bono a 10 años realizada a lo largo de un año:

La rentabilidad realizada de los bonos (H) a lo largo de un año tiene dos componentes: los ingresos por rendimiento obtenidos a lo largo del tiempo y la ganancia o pérdida de capital debida a los cambios de rendimiento: $$H_{10} \approx Y_{10}-\text{Duration}_{10} \times \Delta Y_{10}.$$

Soy un completo novato en economía y estoy tratando de entender lo que pasa aquí desde el punto de vista matemático, que voy a presentar aquí, pero mis cálculos no parecen cuadrar.

Si denotamos el cupón del bono con $C$ y el tiempo de la fianza $t=0$ rendimiento al vencimiento con $y_0$ entonces el valor del bono en el momento $t=0$ igual: $$V_0=\frac{C}{1+y_0}+\frac{C}{(1+y_0)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y_0)^9}+\frac{F+C}{(1+y_0)^{10}}.$$

En el momento $t=1$ podemos expresar el valor del bono en función del tiempo $t=1$ rendimiento al vencimiento $y$ , por lo que tenemos $$V_1(y)=\frac{C}{1+y}+\frac{C}{(1+y)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y)^8}+\frac{F+C}{(1+y)^{9}}.$$ Derivado de $V_1$ con respecto a $y$ es igual a: $$\frac{dV_1}{dy}=-1\cdot\frac{C}{(1+y)^2}-2\cdot\frac{C}{(1+y)^3}-\dots-8 \cdot \frac{C}{(1+y)^9}-9 \cdot\frac{F+C}{(1+y)^{10}} .$$ Ahora, podemos aplicar algunos cálculos básicos aquí y afirmar que para $\Delta y$ pequeño "suficiente", tenemos que $$ V_1(y_0+\Delta y)\approx V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y. $$ Así que ahora, si consideramos la rentabilidad absoluta de nuestra posición (comprando este bono en el momento $t=0$ vendiéndolo a $t=1$ ) desde el momento en que $t=0$ perspectiva, bajo el supuesto de que el tiempo $t=1$ el rendimiento del bono hasta el vencimiento es $y_1=y_0+\Delta y$ Tenemos eso: $$\text{AbsReturn} \approx-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0}.$$ Es decir, compramos el bono por $V_0$ al final del primer año se nos paga el cupón cuyo valor descontado es $\frac{C}{1+y_0}$ y la aproximación del tiempo $t=1$ El valor del bono teniendo en cuenta el cambio del YTM es $V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y$ y también lo descontamos al tiempo $t=0$ .

Ahora, podemos simplificar la expresión para AbsReturn ya que $-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)}{1+y_0}=0$ y obtenemos: $$ \text{AbsReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0} ,$$ que supongo que también podemos dividir con nuestra inversión inicial de $V_0$ para obtener la tasa de rendimiento por lo que obtenemos: $$ \text{RateOfReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{V_0(1+y_0)} ,$$ y aquí es donde me pierdo por completo. Parece que no puedo entender la conexión entre la expresión original y el resultado final. ¿Qué significa el término $\text{Duration}_{10}$ en la fórmula original incluso significa - supongo que es la derivación del valor del bono con respecto al rendimiento - pero el valor del bono en qué momento: $t=0$ o $t=1$ ? ¿Hay alguna diferencia? Si es en el momento $t=0$ ¿cómo podemos utilizar la aproximación lineal de esa función para aproximar el cambio de valor de los bonos en el tiempo? $t=1$ ? Estoy completamente desconcertado con esto. ¿Estoy haciendo algo completamente equivocado en esta derivación? Agradezco cualquier idea al respecto. Gracias.

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Bill718 Puntos 90

La aproximación dada es errónea en un punto clave: es la duración del bono a 9 años de vencimiento, no la duración original.

La aproximación funciona en dos pasos.

  1. Si el rendimiento no varía a lo largo de un año, el rendimiento total a lo largo del año es aproximadamente igual al rendimiento inicial.
  2. Si el rendimiento cambia, añadimos una ganancia/pérdida de capital que es igual a la variación del rendimiento multiplicada por la sensibilidad al rendimiento. Esta es la duración modificada del bono, a 9 años de vencimiento.

Esta aproximación no tiene en cuenta la reinversión de los ingresos de los cupones, ni el efecto de convexidad (la sensibilidad de la rentabilidad cambia ligeramente al variar los rendimientos). Además, la convención del rendimiento de los bonos es probablemente diferente de la convención utilizada para el rendimiento total. Dicho esto, para cambios de rendimiento inferiores a 50 puntos básicos, la aproximación suele ser bastante buena.

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