Mi formación es el procesamiento de señales y soy bastante nuevo en el análisis de series temporales (financieras). Estaba leyendo el artículo sobre los modelos de heteroskedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) en Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_conditional_heteroskedasticity
Estoy confundido sobre lo que significa AR (sé que significa autorregresivo :-) ) en un modelo ARCH. En mi opinión, hay dos posibilidades:
1.) Se supone que el proceso de interés (y no su volatilidad), por ejemplo, los rendimientos logarítmicos, sigue un modelo AR: $$ y_t = a_0 + \sum_{i=1}^p y_{t-i} a_i $$
2.) Suponemos que la volatilidad del proceso que queremos modelar (por ejemplo, el mencionado log-returns) sigue un proceso AR.
La sección de introducción en Wikipedia parece apoyar mi primera hipótesis: "El modelo ARCH es apropiado cuando la varianza del error en una serie temporal sigue un modelo autorregresivo (AR)..."
Sin embargo, lo que me confunde es esta fórmula:
$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2$$
No veo la "autoregresión" aquí... ¿No sería y AR algo como:
$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \sigma_{t-i}^2$$ .
Se trataría entonces de un caso especial de lo que se denomina modelo GARCH.
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La línea justo por encima de tu penúltima cita del artículo de la Wiki dice $\epsilon_t=\sigma_t z_t$
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Sí, pero no sé qué quiere decir con eso. ¿Quiere decir que esto implica que los segundos momentos son los mismos? $$E[\epsilon_t^2] = E[\sigma_t^2 z_t^2] = E[\sigma_t^2].$$ ¿No es el modelo ARCH un modelo generativo?