por qué el modelo BNS es como es

Question

Lo que me desconcierta es, por qué en lugar de tener

$$\begin{equation} dX_t = \sqrt{V_t} dB_t - (\frac{1}{2} V_t^2-r-\lambda\Phi(\rho)) dt - \rho dZ_{\lambda t}\nonumber \end{equation}$$

sólo tenemos

$$\begin{equation} dX_t = V_t dB_t - (\frac{1}{2} V_t-r-\lambda\Phi(\rho)) dt - \rho dZ_{\lambda t}\nonumber \end{equation}$$

donde $$\begin{equation} dV_t = -\lambda V_t dt + dZ_{\lambda t}\nonumber \end{equation}$$

He estado trabajando en el problema de las puestas americanas para esto. Sin root cuadrada, creo que algunas cosas se pueden simplificar de una manera mucho más agradable. Aunque no he hecho ningún cálculo, sin root cuadrada, $V$ está "en la misma dimensión" que el precio logarítmico. La ecuación tiene una bonita interpretación, según la cual un salto en la "volatilidad" corresponde a un salto en el precio, en lugar de que un salto en la "volatilidad al cuadrado" corresponda a un salto en el precio?

Papel: http://economics.ouls.ox.ac.uk/13781/1/read.pdf

Answer 1

Yo lo diría de otra manera. Modelar la varianza de forma aditiva (un proceso de OU es en cierto modo aditivo) es más natural que, por ejemplo, un modelo de movimiento browniano gemétrico (que, por otra parte, no modela la reversión a la media). La volatilidad, al ser una root cuadrada, no es en absoluto aditiva.

Dejemos que $(B_t)_{t \ge 0}$ sea un movimiento browniano entonces tenemos $$VAR(B_t) = t = VAR(B_s-B_0)+VAR(B_t-B_s) = s+(t-s) = t.$$ Esto es cierto para la varianza pero de ninguna manera para la volatilidad. Piense también en la modelización GARCH, en la que $\sigma^2$ se modela y no $\sigma$ .

Por último, si se modela la varianza, hay que tomar root cuadrada si se utiliza como multiplicador que representa la volatilidad.

Answer 2

La segunda ecuación, en la que se utilizaría la varianza en lugar de la desviación estándar, no proporcionará trayectorias "significativas".

La razón es: la varianza no tiene ningún significado/interpretación en el espacio. Si consideramos una distribución normal de los rendimientos de las acciones, la desviación estándar es en realidad un número que nos indica la diferencia entre el valor esperado y algún cuantil.

En cambio, la varianza no tiene una interpretación tan directa. Por ejemplo, se podría ejecutar un movimiento browniano exponencial con un $\sigma^2$ en lugar de $\sigma$ pero esto equivaldría a una trayectoria con una volatilidad subyacente de $\sigma^4$ .

En lugar de tomar $\sqrt{V_t}$ se podría intentar trabajar con un proceso de root cuadrada. Así, aplicando Itô a $d(\sqrt{V_t})$ . De esta manera, podría deshacerse de la $\sqrt{V_t}$ término en $dX_t$ .