Test de Finanzas: ¿Cómo resolver el tipo de interés? (Anualidades)

Question

Hola, ¡gracias por ayudarme!

Este es el problema:

Se le dice que si invierte $11,000 per year for 23 years (all payments made at the end of each year), you will have accumulated $ 366.000 al final del periodo. ¿Qué tasa de rendimiento anual ofrece la inversión?

Hasta aquí he llegado con el problema:

366000/11000 = ((1+r)^23 - 1)/r

No sé qué hacer ahora.

Gracias.

Answer 1

Esto es en realidad un serie geométrica y r no se puede resolver manualmente (fácilmente) como dice @base64.

Como implica una de las fórmulas de la página de Wikipedia a la que proporcioné un enlace justo arriba, la suma de los términos de una serie geométrica de la forma siguiente puede calcularse mediante

t^(N-1) + t^(N-2) + ... + t^0 = (1 - t^N)/(1-t).

En primer lugar, vamos a generalizar ligeramente el problema que has compartido para hacer uso de la fórmula anterior. Supongamos que uno invierte una cantidad P de dinero cada año al final de cada año durante N años, de manera que la inversión de cada año gana un tipo de interés de r anual. Entonces, el total de Q que se acumula al final del año N sería

Q   = P(1+r)^(N-1) + P(1+r)^(N-2) + ... + P(1+r)^(0)

    = P[(1+r)^(N-1) + (1+r)^(N-2) + ... + 1]

Q/P = [(1+r)^(N-1) + (1+r)^(N-2) + ... + 1]

    = [1 - (1+r)^N]/(1 - (1+r)) (using the geometric series summation formula above assuming t = 1+r)

    = [(1+r)^N - 1]/r.          (after rearranging the terms and a little simplification)

Podemos adaptar fácilmente esta fórmula al problema que has publicado suponiendo Q = $366,000, P = $ 11.000, N = 23 y r, por supuesto, es la tasa de rendimiento anual. Entonces

366,000 / 11,000 = [(1+r)^23 - 1]/r

que es lo mismo que la ecuación que se te ocurrió.

Esta ecuación no puede simplificarse más para encontrar r directamente. Se trata de un problema de búsqueda de raíces para un polinomio de grado 23. Es necesario utilizar un método numérico como el método Newton-Rhapson para resolverlo (que es como se suele hacer) o se puede ir por ensayo-error manualmente de forma sistemática. Otra herramienta que se puede utilizar es el complemento Solver en Excel.

Por supuesto, otra forma de hallar r es utilizar una calculadora financiera, que tendría una función incorporada para este tipo de problemas y todo lo que habría que hacer es proporcionar la Q, la P y la N a la calculadora. Otra forma es utilizar la función RATE() de Excel de forma similar a la calculadora financiera. Tenga en cuenta que tanto las calculadoras financieras como la función RATE() de Excel definen realmente el problema como un problema de búsqueda de raíces de polinomios y utilizan un método numérico como el Newton-Rhapson entre bastidores.

Dicho todo esto, la respuesta a su pregunta es r = 3.21% .

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Aviso de edición

Las fórmulas y ecuaciones se revisan para tener en cuenta que el dinero se invierte al final de cada año. Gracias por el aviso @base64.

Answer 2

Puede intentar adivinar r hasta que se acerque lo suficiente a cero, es decir

(11000 ((1 + r)^23 - 1))/r - 366000 = 0

Resultados representados para r = 0,02, 0,025, 0,03, 0,035, 0,04

with  d = 11000
      n = 23
      s = 366000

Error cero en r = 0.032

O puede encontrar un solucionador, por ejemplo https://www.wolframalpha.com

Answer 3

Si quieres hacer un cálculo sencillo, tienes 253000 de capital, lo que da los intereses como 366000-253000 = 113000, que es el 44,66% del capital. Es una media aritmética del 1,94% anual. Podemos hacer más ajustes. Por ejemplo, cada dólar del principal está ganando intereses, de media, sólo durante la mitad del periodo de tiempo, por lo que da un 3,88%. Si se tiene en cuenta la capitalización, se obtiene una cantidad menor, pero el 3,88% es un buen comienzo para el método de Newton. Obviamente, no es suficiente para una pregunta de examen, pero para muchas necesidades del mundo real, es una buena estimación.

Además de todas las sugerencias en otras respuestas, Wolfram Alpha debería darte la respuesta.