Actualmente soy asistente de una clase y recientemente he corregido un examen parcial. Le devolví la clave de respuestas al profesor, después de repasar parte del examen en una sala de estudio. Iba a repasar el resto mañana, pero al hacer mi propia clave de respuestas en horas de oficina, parece que he llegado a una respuesta diferente a la del profesor.
Maximizamos $$u = 2x_1^{1/2} + 4x_2^{1/2}$$ con una restricción presupuestaria normal donde $p \cdot x \leq w$ . Llegamos a la demanda walrasiana:
$$x^*(p, w) = \left(\frac{p_2 w}{p_1(4p_1 + p_2)} , \frac{4p_1 w}{p_2(4p_1 + p_2)}\right)$$
Supongamos que $w = 10, \vec p = (1, 4), \vec p' = (3, 2)$ .
Así, $x(p', w) = (\frac{10}{21}, \frac{30}{7})$ y $x(p, w) = (5, \frac{5}{4})$ para nuestros paquetes nuevos y antiguos respectivamente.
Así que para encontrar variación compensatoria encontramos la utilidad original:
$2 \cdot 5^{1/2} + 4 \cdot (5/4)^{1/2} = 4 \sqrt 5$
y encontrar $w'$ que obtendría la antigua utilidad y los nuevos precios:
$4 \sqrt 5 = 2(\frac{w'}{21})^{1/2} + 4(\frac{3w'}{7})^{1/2} = 2(\frac{w'}{21})^{1/2} + 12(\frac{w'}{21})^{1/2} = 14(\frac{w'}{21})^{1/2} \implies \\ 4 \sqrt 5 = 14(\frac{w'}{21})^{1/2} \\ 80 = 14^2 \cdot \frac{w'}{21} \\ \boxed{w' = \frac{60}{7}}$
Así, $\boxed{CV = w - w' = 10 - \frac{60}{7} = \frac{10}{7}}$
Para encontrar variación equivalente encontramos la nueva utilidad:
$2 \cdot (10/21)^{1/2} + 4 \cdot (30/7)^{1/2} = 2 \cdot (10/21)^{1/2} + 12 \cdot (10/21)^{1/2} = 14 \sqrt {\frac{10}{21}}$
y encontrar $\hat w$ que obtendría una nueva utilidad a precios antiguos:
$14 \sqrt {\frac{10}{21}} = 2(\frac{\hat w}{2})^{1/2} + 4(\frac{\hat w}{8})^{1/2} = 4(\frac{\hat w}{2})^{1/2} \\ 14^2 \cdot \frac{10}{21} = 16 \cdot \frac{\hat w}{2} \\ \boxed{\hat w = \frac{70}{6}}$
Así, $\boxed{EV = \hat w - w = \frac{70}{6} - 10 = \frac{5}{3}}$
El problema es que si no recuerdo mal, se supone que el CV y el EV tienen el signo contrario para que el cambio de bienestar sea ambiguo. ¿Dónde me he equivocado, si es que lo he hecho? (Vale la pena señalar que si se hace la descomposición de Slutsky para esta pregunta, se encuentra que el bien 2 es inferior).
