Dejemos que $q_i \in Q = \mathbb R_+$ denotan la cantidad producida por la empresa $i \in \{1,2\}$ . Además, dejemos $\pi_i(q_1,q_2) = (1-q_1-q_2)q_i$ denotan los beneficios de $i$ . Un equilibrio de Nash $(q_1^*,q_2^*) \in Q^2$ satisface \begin{align} &\pi_1(q_1^*,q_2^*) \geq \pi_1(q_1,q_2^*) \quad \forall q_1 \in Q\\ &\pi_2(q_1^*,q_2^*) \geq \pi_2(q_1^*,q_2) \quad \forall q_2 \in Q. \end{align} Estamos considerando equilibrios simétricos de la forma $q^* = q_1^* = q_2^*$ y, por lo tanto, aplicar el enfoque de la forma simétrica de los oponentes. Definir $\pi(q,q^*) = \pi_1(q,q^*)$ . Existe una única root simétrica a la condición de primer orden $\pi_q(q^*,q^*) = 0$ dado por $q^* = \frac{1}{3}$ .
Reclamación El candidato $q = \frac{1}{3}$ es el único maximizador simétrico de $\pi(q,q^*)$ .
Problema: El candidato puede ser un mínimo o una silla de montar.
La idea: En los entornos económicos las cantidades de equilibrio están básicamente restringidas por la racionalidad individual, es decir $\pi(q^*,q^*) = (1-2q^*)q^*$ implica $q^* \in [0,\frac{1}{2}]$ . Desde $\pi(\frac{1}{3},\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} > 0$ La afirmación es la siguiente.
Editar Edito la pregunta para aclarar más la cuestión. Supongamos que No tengo ninguna información sobre la concavidad de $\pi(q,q^*)$ por ejemplo $q$ .
Un argumento general: Hay que distinguir 4 casos.
- $q^*$ es una silla de montar y $\pi(q^*,q^*) > 0$ y $\pi(\infty,q^*) = \infty$ .
- $q^*$ es una silla de montar y $\pi(q^*,q^*) < 0$ y $\pi(\infty,q^*) = -\infty$ .
- $q^*$ es un mínimo y $\pi(q^*,q^*) < 0$ y $\pi(\infty,q^*) = \infty$ .
- $q^*$ es un máximo y $\pi(q^*,q^*) > 0$ y $\pi(\infty,q^*) = -\infty$ .
Dado que aquí se considera el caso 4 $\frac{1}{3} = \arg\max_q\pi(q,q^*)$ .
