Límite del precio de la compra y la venta digital cuando la volatilidad es infima

Question

El precio de una call y una put digitales en el modelo Black-Scholes viene dado por $$c^d = \Phi (d_-), \qquad p^d = \Phi (-d_-), \qquad \text{with} \qquad d_- = \dfrac{\log S_t / K}{\sigma \sqrt{T}} - \dfrac{1}{2}\sigma \sqrt{T}.$$

Estoy asumiendo $r = 0$ ya que los tipos de interés no están relacionados con la cuestión.

Es fácil ver que, a medida que la volatilidad llega al infinito, el precio de la opción de compra digital irá a cero, mientras que el precio de la opción de venta digital tenderá a uno. Además, el precio es independiente del dinero. Tomando el ejemplo de la call digital, se podría argumentar que este límite tiene sentido, ya que se podría entender el valor de una call digital como el límite de una call-spread infinitamente estrecha. Cuando la volatilidad aumenta, ambos precios se aproximan y, por tanto, la diferencia llega a cero. Sin embargo, podemos ver que este ejercicio sólo funciona para la call digital, y falla para la put digital.

Intuitivamente, y consideremos un caso de cajero automático para simplificar, yo diría que como $\sigma$ aumenta, la distribución se aplana, y por lo tanto hay un 50-50 de posibilidades de que la opción termine OTM e ITM. Así que, ingenuamente, fijaría el precio de la opción de compra y de la opción de venta digitales en 0,5. Pero aparentemente esto no es así, como se dijo al principio.

Así que la pregunta es, ¿qué falla en el razonamiento aquí en el último párrafo?

Answer 1

Su intuición es correcta para una distribución simétrica. Sin embargo, la distribución logarítmica normal, como se supone en el modelo Black-Scholes, es una distribución asimétrica. He ilustrado el efecto de aumentar la volatilidad, manteniendo todo lo demás igual. La masa de probabilidad se reduce a cero.

La forma en que pienso en esto en términos de intuición es que el cero es una barrera absorbente para el proceso. Esto significa que cuando el proceso llega a cero, entonces el proceso "muere". Si la volatilidad va hacia el infinito, entonces la probabilidad de alcanzar esa barrera de absorción en la vida de la opción va hacia 1. Por lo tanto, el precio de una opción de venta debería ser 1 y el precio de una opción de compra debería ser cero.