Empecemos por analizar el problema de la familia con la imposición de un impuesto. Suponiendo una función de utilidad CRRA: \begin{equation} U = \int_0^\infty e^{-(\rho-n)t} \cdot \left[ \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} \right] \operatorname{dt} \hspace{5mm} (1) \end{equation} Los agentes maximizan $(1)$ sujeta a la restricción de los activos: \begin{equation} \dot{a} = w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a \end{equation} El hamiltoniano viene dado por \begin{equation} \mathcal{H} = e^{-(\rho-n)t} \cdot \left[ \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} \right] + \lambda \cdot [ w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a ] \end{equation} Las condiciones máximas del principio son: $$\begin{cases} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} = 0 \implies e^{-(\rho-n)t} \cdot c^{-\theta} = \lambda \\ \dot{a} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \implies \dot{a} = w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a \\ \dot{\lambda} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial a} \implies \dot{\lambda} = -\lambda \cdot [(1-\tau)r - n] \\ \lim_{t \to \infty} [\lambda \cdot a] = 0 \end{cases} $$ ¿Es correcto mi razonamiento hasta ahora? ¿O debería haber incluido una transferencia del gobierno a los agentes en alguna parte? Además, el hecho de que el gasto del gobierno sea productivo o no cambiaría también la forma de tratar el impuesto en nuestro modelo AK, ¿no?
ACTUALIZACIÓN: Pensando un poco más, he llegado a la conclusión de que el problema debería volver a plantearse como:
Maximizar $(1)$ sujeto a restricción de activos $$ \dot{a} = w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a + v $$ donde $v = \frac{V}{L} = \frac{\tau \cdot r \cdot a}{L}$ es una transferencia a tanto alzado per cápita del gobierno a las familias. Por lo tanto, el Hamiltoniano viene dado ahora por: \begin{equation} \mathcal{H} = e^{-(\rho-n)t} \cdot \left[ \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} \right] + \lambda \cdot [ w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a + v] \end{equation} Las condiciones máximas del principio son: $$\begin{cases} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} = 0 \implies e^{-(\rho-n)t} \cdot c^{-\theta} = \lambda \\ \dot{a} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \implies \dot{a} = w - c + (1-\tau)r \cdot a - n \cdot a + v \\ \dot{\lambda} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial a} \implies \dot{\lambda} = -\lambda \cdot [(1-\tau)r - n] \\ \lim_{t \to \infty} [\lambda \cdot a] = 0 \end{cases} $$ Utilizando las ecuaciones anteriores, podemos encontrar que: $$ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \cdot [(1-\tau)r - \rho] $$ Considerando ahora una función de producción en forma per cápita dada por $$ y = Ak, A > 0 $$ tenemos que los beneficios de las empresas son (nótese que no he incluido el impuesto en $r$ aquí, por el razonamiento de que como $r$ ingresa las ganancias como un gasto, en este caso no tributa, porque no es un ingreso patrimonial como en el problema de la familia representativa) $$ \pi = Ak - \underbrace{w}_{=\frac{\partial y}{\partial L} = 0} - \delta \cdot k - r \cdot k $$ lo que significa que la condición de primer orden de la maximización del beneficio vendrá dada por $$ \frac{\partial \pi}{\partial k} = 0 \implies A = f'(k) = \delta - r $$ o $$ r = A - \delta $$ Por lo tanto, $$ \boxed{ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \cdot [(1-\tau) \cdot (A-\delta) - \rho]} $$ Ahora, en equilibrio, $a = k$ . Si sustituimos esto y $v = \tau \cdot r \cdot k$ en la restricción de los activos, tenemos: \begin{align*} \dot{k} &= -c + (1-\tau) \cdot r \cdot k - n \cdot k + \tau \cdot r \cdot k \\ &= -c - (r+n) \cdot k \end{align*} y, por lo tanto, $$ \boxed{ \dot{k} = -c + (A-\delta-n) \cdot k} $$ ¿Es correcto lo que he hecho?
